Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим дан­ную фи­гу­ру  — че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду с вер­ши­ной в точке S и с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма где a и b сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, а   — угол между ними, сле­ду­ет, что угол а па­рал­ле­ло­грамм ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник SBC пря­мо­уголь­ный по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Чтобы найти ко­си­нус ли­ней­но­го угла дву­гран­но­го угла BSCD, вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов трех­гран­но­го угла. Возь­мем за угол BCD за плос­кий угол трех­гран­но­го угла. Тогда:

где   — ис­ко­мый ли­ней­ный угол.

Под­ста­вим зна­че­ния и най­дем ко­си­нус ли­ней­но­го угла:

Тогда зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно –3.

Ответ: –3.

Ре­ше­ние. Пусть SO  =  h. За­ме­тим, что тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Обо­зна­чим углы SAB и SAD как β и γ, со­от­вет­ствен­но.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SAB:

от­ку­да

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SAD:

от­ку­да

Из точки D опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр DH на ребро SA. Из точки H в плос­ко­сти SAB вос­ста­но­вим к SA пер­пен­ди­ку­ляр HG, где G  — точка его пе­ре­се­че­ния с пря­мой AB. Тогда угол DHG  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла BSAD и равен

Из тре­уголь­ни­ка ADH: Из тре­уголь­ни­ка AHG: По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка DHG:

Тогда

Ответ: 200.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим дан­ную фи­гу­ру  — че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду с вер­ши­ной в точке S и с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма где a и b сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, а   — угол между ними, сле­ду­ет, что угол а па­рал­ле­ло­грамм ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник SBC пря­мо­уголь­ный по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Чтобы найти ко­си­нус ли­ней­но­го угла дву­гран­но­го угла BSCD, вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов трех­гран­но­го угла. Возь­мем за угол BCD за плос­кий угол трех­гран­но­го угла. Тогда:

где   — ис­ко­мый ли­ней­ный угол.

Под­ста­вим зна­че­ния и най­дем ко­си­нус ли­ней­но­го угла:

Тогда зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно −6.

Ответ: −6.